POLINOMIAL

     Polinomial adalah (suku banyak) merupakan bentuk suku-suku yang banyaknya terhingga dan tersusun atas peubah/variable dan konstanta. Operasi yang berlaku pada polinom hanyalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, serta pangkat bilangan bulat tidak negatif.

    Cara mencari nilai polinomial ada 2 cara yaitu :

1) Teori Subtitusi

2) Teori Horner

   Contoh soal :

1) Teori Subtitusi

     f (x) = 5x^9 + 3x^8 - 2x^6 + 6x + 2

     f (x) = 5(1)^9 + 3(1)^8 - 2(1)^6 + 6(1) + 2

             = -5 + 3 - 2 + 6 + 2

             = 8

2) Teori Horner

   f (x) = x^3 - 7x^2 + 4x + 50

Maka bentuk hornernya adalah seperti di bawah ini :

Sehingga menghasilkan nilai polinomial 26

 Operasi penjumlahan dan pengurangan Polinomial 

   Operasi penjumlahan dan pengurangan dalam polinomial memiliki prinsip yang sama yaitu menjumlahkan atau mengurangi suku-suku sejenis , yaitu suku-suku dengan pamgkat peubah sama .

  Contoh soal : 

f(x) = x^3 + 5x^2 - 3x + 7

g(x) = 3x^2 + 4x - 5

        Tentukan f(x) + g(x)

= (x^3 + 5x^2 - 3x + 7) + (3x^2 + 4x - 5)

= x^3 + 8x^2 + x + 2

         Tentukan f(x) - g(x)

= (x^3 + 5x^2 - 3x + 7) - (x^2 + 5x - 9)

= x^3 + 4x^2 - 10x + 16

 Operasi perkalian Polinomial

     Operasi perkalian pada polinomial menggunakan sifat distributif , yaitu (a+b) (c+d) = ac+ad+bc+bd .

   Contoh soal

f(x) = 2x^3 + x - 2

g(x) = 2x - 1

           Tentukan f(x) . g(x)

= (2x^3 + x - 2) . (2x - 1)

= 4x^4 - 2x^3 + 2x^2 - x - 4x + 2

= 4x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 5x + 2

Algoritma pembagian Polinomial 

f(x) = p(x).h(x)+s(x)

Dimana f(x) = Fungsi Polinomial

                p(x) = Pembagi Polinomial

                h(x) = Hasil bagi Polinomial

                s(x) = Sisa bagi Polinomial

   Pada algoritma pembagian ini menggunakan 2 cara , yaitu dengan :

1) Cara Pembagian Bersusun

2) Teori Horner

Contoh soal

1) Menggunakan pembagian bersusun

f(x) =  x^3 - 7x^2 + 4x + 50 ÷ x - 3

Maka algoritma pembagian nya adalah

f(x) = (x - 3) . (x^2 - 4x - 8) + 26

2) Menggunakan teorema Horner

Teorema sisa 

    Teorema sisa 1

 Pernyataan yang harus di buktikan jika suku banyak f(x) dibagi x-k , maka akan bersisa f(k) .

Contoh soal :

f(x) = 4x^2 + 3x + 2

       = 4 (3)^2 + 3 (3) + 2

       = 36 + 9 + 2

       = 47

   Teorema sisa 2

Jika suku banyak f(x) dibagi ax-b , maka akan bersisa f .

  Contoh soal :

f(x) = 3x^2 + x + 5 ÷ 2x-1

       = ax-b = 0

       = 2x-1 = 0

       = 2x = 1

       = x = 1/2

f(x) = 3x^2 + x + 5

f (1/2) = 3(1/2)^2 + 1/2 + + 5

           = 3 (1/4) + 11/2

           = 3/4 + 11/2

           = 25/4

   Teorema sisa 3 

Jika suku banyak f(x) dibagi (x-a) (x-b) , maka sisanya adalah p(x)+q dimana f(a) = p(a) + q dan f(b) = p(b) + q

  Contoh soal :

f(x) = x^3 + 4x + 2 ÷ x^2 - 5x + 6

    x^2 - 5x + 6

    (x-2) (x-3)

    a = 2  b = 3

f(x) = x^3 + 4x + 2

f (a) = a^3 + 4a + 2

f(2) = 2^3 + 4 (2) + 2

       = 8 + 8 + 2

f (2) = 18

f(b) = b^3 + 4b + 2

f(3) = 3^3 + 4(3) + 2

       = 27 + 12 + 2

        = 41

f(a) = p(a) + q

18 = p(18) + q

18p + q = 18

f(b) = p(b) + q

41 = p(41) + q

41p + q = 41

18p + q = 18

41p + q = 41 -

-23p      = -23

            p = 1

18p + q = 18

18 (1) + q = 18

q = 18-18

q = 0

Jadi , sisa pembagiannya adalah px + q

   Teorema faktor 

Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai 0 maka itulah faktornya .

Contoh 1

Diketahui suku banyak F(x) = x3 – 4x2 + x + p mempunyai faktor (x – 2). Tentukan nilai p.

Jawab:

Diketahui x – 2 merupakan faktor dari F(x), maka F(2) = 0.

F(x) = x3 – 4x2 + x + p

F(2) = 0

23 – 4.22 + 2 + p = 0

    8 – 16 + 2 + p = 0

                -6 + p = 0

                       P = 6

Jadi, nilai p = 6

Contoh 2